Tiếp tuyến là gì? Thông tin và ví dụ minh họa chi tiết

Trong chương trình Toán học cấp 2 chúng ta sẽ được làm quen với khái niệm tiếp tuyến. Vậy thì tiếp tuyến là gì? Có những kiến thức nào liên quan đến định nghĩa này mà chúng ta cần ghi nhớ hay không? Mời bạn đọc dõi theo bài viết sau của giamayhutbui.com để tìm kiếm cho mình đáp án chính xác nhất nhé!

Tìm hiểu khái niệm tiếp tuyến là gì?

Tiếp tuyến (tiếng Anh là: tangent) là đường thẳng chỉ tiếp xúc chứ không thể cắt đồ thị tại một điểm nhất định. Khái niệm tiếp tuyến không chỉ được ứng dụng trong Toán học mà nó còn có ích khi được vận dụng vào kinh tế để xác định độ dốc hoặc là hệ số góc của một đường tại một điểm nhất định dọc theo hướng ấy.

tiep-tuyen-la-gi
Định nghĩa của đường tiếp tuyến là gì?

Ví dụ, chúng ta phân tích đường bàng quan cho thấy người tiêu dùng có hành động hợp lý sẽ tìm cách để tối đa hóa ích lợi của mình bằng cách chọn một kết hợp giữa hai sản phẩm X và Y sao cho đường ngân sách của người ấy tiếp tuyến với đường bàng quan cao nhất có thể xuất hiện. Bởi vì chỉ tại điểm đó thì giá tương đối của các sản phẩm mới thích hợp nhất với lợi ích tương đối của chúng.

Khi tiếp tuyến đi qua điểm giao nhau của đường tiếp tuyến và đường cong trên thì sẽ được gọi là tiếp điểm, đường tiếp tuyến sẽ “đi theo hướng” của đường cong và do đó nó là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất với đường cong tại điểm tiếp xúc đó. Cũng tương tự như vậy, mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm nhất định sẽ là mặt phẳng “chỉ chạm vào” mặt cong tại chính điểm đó.

Tính chất cơ bản tiếp tuyến của đường tròn

– Tính chất của tiếp tuyến chính là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất. Điểm chung này sẽ được gọi là tiếp điểm.

– Tiếp tuyến của đường tròn chính là đường thẳng vuông góc với đầu mút bán kính nằm trên đường tròn đó. Ngược lại, đường thẳng sẽ vuông góc với bán kính tại điểm giao nhau giữa đường tròn và bán kính thì sẽ chính là tiếp tuyến.

– Đường thẳng mà vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì chắc chắn sẽ đi qua tâm.

– Từ một điểm nằm bên ngoài của đường tròn chúng ta sẽ luôn vẽ được hai đường tiếp tuyến với đường tròn.

– Hai tiếp tuyến của đường tròn giao nhau tại điểm bất kỳ, điểm đó sẽ có khoảng cách cách đều với 2 đầu tiếp điểm. Theo đó, tia thẳng được kẻ từ điểm cắt nhau khi đi qua tâm đường tròn sẽ được gọi là tia phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến. Tia thẳng được kẻ từ tâm đi qua điểm cắt nhau còn được gọi là tia phân giác của 2 bán kính khi đi qua các tiếp điểm.

– Nếu hai tiếp tuyến tại A và B với đường tròn có tâm O cắt nhau tại P thì góc BOA và góc BPA sẽ bù với nhau.

Thế nào được coi là tiếp tuyến của đường tròn? Dấu hiệu nhận biết

Khái niệm tiếp tuyến của đường tròn là gì? Nếu một đường thẳng đi qua một điểm bất kỳ của đường tròn mà lại vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy sẽ chính là một tiếp tuyến của đường tròn. Dấu hiệu nhận biết như sau:

  • Nếu một đường tròn và một đường thẳng chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó sẽ chính là tiếp tuyến của đường tròn.
  • Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn tới đường thẳng bằng với bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó sẽ chính là tiếp tuyến của đường tròn.
tiep-tuyen-cua-duong-tron-la-gi
Tiếp tuyến của đường tròn là gì

Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn sẽ chính là đường thẳng có thể tiếp xúc với cả hai đường tròn đó. Tiếp tuyến chung bên trong là tiếp tuyến chung cắt với đoạn nối tâm. Còn tiếp tuyến chung ngoài chính là tiếp tuyến chung không cắt với đoạn nối tâm.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số được hiểu là gì?

Tiếp tuyến của đồ thị một hàm số tại chính một điểm là đường thẳng sẽ tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm đó. Và công thức để chúng ta có thể xác định tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm M(x0, y0) bất kỳ sẽ được xác định như sau: y= f’(x0)(x-x0) + y0.

Trong công thức nói trên, ta có thể thấy rằng đạo hàm bậc nhất của hàm số tại hoành độ của điểm cũng chính là hệ số góc của tiếp tuyến. Thế nhưng hệ số góc có nghĩa là gì?

Hệ số góc của đường thẳng  y= ax + b với a # 0 sẽ chính là hệ số của góc tạo thành khi đường thẳng này cắt trục hoành x’0x tại một hoành độ và hợp lại với trục hoành x’0x để tạo thành một góc. Bởi vì a của đồ thị hàm số có liên quan đến góc này nên a được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b. Cụ thể:

  • Khi a > 0  thì góc được tạo thành sẽ là góc nhọn và nằm ở bên trái Oy.
  • Khi a < 0 thì góc tạo thành chắc chắn sẽ là góc tù và nằm ở phía bên phải trục tung Oy.
  • Khi a = 0 ta sẽ không có hệ số góc vì lúc này đường thẳng sẽ song song với chính trục hoành.

Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau là gì?

Nếu hai tiếp tuyến bất kỳ của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

– Điểm đó sẽ cách 1 khoảng cách đều với hai tiếp điểm.

– Tia thẳng được kẻ từ điểm đó đi qua tâm sẽ chính là tia phân giác của các góc được tạo bởi hai tiếp tuyến.

– Tia thẳng được kẻ từ tâm đi qua điểm đó cũng chính là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính khi đi qua tiếp điểm.

Nghĩa là cho một đường tròn (O), 2 điểm B, C thuộc vào (O). Tiếp tuyến của (O) tại B và C sẽ cắt nhau tại điểm A. Khi đó ta sẽ có AB = AC, tia OA chính là phân giác của của góc BOC còn tia AO là phân giác của góc BAC.

Góc tiếp tuyến có nghĩa là gì?

Tiếp tuyến của đồ thị một hàm số tại một điểm bất kỳ là một đường thẳng sẽ tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm đó. Theo công thức đã đề cập ở trên thì ta có thể thấy rằng đạo hàm bậc nhất của hàm số tại hoành độ của điểm, f′(x0) cũng chính là hệ số góc của tiếp tuyến. Ngoài ra chúng ta còn được làm quen với tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

goc-tiep-tuyen-la-gi
Hệ số góc của tiếp tuyến được định nghĩa thế nào?

Xem thêm

Một số dạng bài tập cơ bản có liên quan đến tiếp tuyến

Bài 1: Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x^3 + 3x^2 – 2, biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 9x – y – 7 = 0.

Lời giải:

Ta có: Tập xác định D = R nên y’(x0) = 3×0^2 + 6×0. Tiếp tuyến của đồ thị (C) sẽ có dạng phương trình là: y = y’(x0)(x – x0) + y(x0) ⇔ y = (3×0^2 + 6×0)(x – x0) + x0^3 + 3×0^2 – 2 (*) (trong đó thì x0 thuộc D chính là hoành độ của tiếp điểm).

Tiếp tuyến (*) lại song song với d nên ta sẽ có: 3×0^2 + 6×0 = 9 => x0 = 1 và x0 = -3. Với x0 = 1 thì phương trình tiếp tuyến sẽ là: y = 9x – 7 (loại). Với x0 = -3 thì phương trình tiếp tuyến có được là y = 9x + 25 (thoả mãn điều kiện).

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số  y = f(x) = 2x^2 + 3x + 1 biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: y = x +2.

Lời giải:

Ta có: f’(x) = 4x + 3. Gọi M(x0, y0) chính là tiếp điểm. Khi đó ta sẽ có k = f’(x0) = 4×0 + 3 và y0 = f(x0) = 2×0^2 + 3×0 + 1. Theo đề bài, vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’ có hệ số góc k’ = 1 nên ta sẽ có:

  1. k’ = -1 ⇔ (4×0 + 3) x 1 = -1 ⇔ 4×0 + 3 = -1 ⇔ x0 = -1.

Như vậy f’(x0) = 4 x (-1) + 3 = -1. Và y0 = f(x0) = 2 x (-1)^2 + 3 x (-1) + 1 = 0. Ta có phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’ sẽ là: y = -x – 1.

Hy vọng bài viết này của khodienmay.info đã có thể giúp ích cho bạn trong quá trình giải các bài tập Toán hình có liên quan đến đường tiếp tuyến nhé!