Trực tâm của tam giác hay trực tâm trong không gian đều là những kiến thức môn hình học cơ bản mà chúng ta đã được học trong chương trình toán học trung học cơ sở. Hãy cùng chúng mình củng cố lại trực tâm là gì, trực tâm có tính chất gì trong bài viết dưới đây nhé.
Trực tâm là gì?
Trực tâm là giao điểm của 3 đường cao tương ứng với 3 đỉnh của tam giác. Mỗi tam giác chỉ có duy nhất 1 trực tâm. Trực tâm có thể nằm trong hoặc có thể nằm ở ngoài miền của tam giác.
Đường cao tương ứng với 1 đỉnh của tam giác chính là đường thẳng nối từ đỉnh đó đến cạnh đối diện và được vuông góc với cạnh đối diện tại điểm cắt. Cạnh đối diện này được gọi là cạnh đáy tương ứng với đường cao đó. Độ dài đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy tương ứng với nó. Như trên hình ta có trực tâm H của tam giác ABC.
Trực tâm có tính chất gì?
Trực tâm của tam giác có nhiều định lý, tính chất quan trọng. Muốn làm tốt các dạng bài tập toán hình học, chúng ta cần nắm rõ các định lý và tính chất này để vận dụng trong việc làm bài tập nhanh chóng, hiệu quả. Cụ thể như sau:
– Nếu ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đến trung điểm của một cạnh bằng một phần hai khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh còn lại của tam giác đó.
– Trong một tam giác cân, đường trung trực tương ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường cao và cả đường trung tuyến của tam giác đó.
– Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến cũng đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
– Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến cũng đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
– Trực tâm của tam giác nhọn ABC cũng sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác được tạo bởi 3 đỉnh là 3 chân đường cao tương ứng 3 đỉnh của tam giác ABC.
– Định lý Carnot: Đường cao tương ứng với một đỉnh của một tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó sẽ đối xứng với trực tâm của tam giác đó qua cạnh đáy đối xứng với đỉnh.
Từ những tính chất trên ta rút ra được hệ quả như sau: Trong một tam giác đều, điểm trực tâm, trọng tâm, điểm cách đều ba đỉnh, cách đều ba cạnh: bốn điểm này đều trùng nhau, chỉ là một điểm.
Cách để xác định trực tâm của tam giác
Theo định nghĩa, trực tâm của tam giác là giao điểm 3 đường cao tương ứng với 3 đỉnh của tam giác đó. Tuy nhiên, chúng ta chỉ cần tìm giao điểm 2 đường cao là đã có thể dễ dàng xác định được trực tâm một tam giác chứ không cần vẽ cả 3 đường cao. Với các dạng tam giác khác nhau thì vị trí trực tâm cũng khác nhau.
Trong tam giác nhọn, trực tâm sẽ nằm bên trong tam giác Trong tam giác tù, trực tâm nằm bên ngoài tam giác. Trong tam giác vuông, trực tâm chính là đỉnh của góc vuông của tam giác.
Ví dụ: Vì tam giác vuông ABC có góc đặc biệt nên đỉnh góc vuông A trùng H đồng thời là trực tâm của tam giác.
Ngoài ra, dựa vào các định lý và tính chất đã nêu ở phần trên, ta có thêm một số cách xác định trực tâm của tam giác như sau:
Theo tính chất “Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đến trung điểm của một cạnh bằng một nửa khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh còn lại của tam giác đó”, nếu biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, chúng ta dễ dàng xác định trực tâm của tam giác như sau: Kẻ 1 đường cao và 1 đường từ tâm của đường tròn đến trung điểm cạnh đối diện với đỉnh đường cao đó. Từ đây, ta tìm ra 1 điểm nằm trên đường cao cách đỉnh tam giác tương ứng một khoảng bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn tới trung điểm cạnh đối diện, điểm đó chính là trực tâm.
Theo Định lý Carnot: Đường cao tương ứng một đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác qua cạnh đáy đối xứng với đỉnh. Chúng ta có thể xác định trực tâm như sau: Kẻ 1 đường cao của tam giác, đường cao đó cắt đường tròn tại 1 điểm thứ 2 (ngoài đỉnh tam giác), tìm điểm đối xứng điểm đó qua đáy tương ứng chính là trực tâm.
Trên đây là một số chia sẻ của chúng tôi về trực tâm là gì cùng trực tâm có tính chất gì. Nếu các bạn còn gì thắc mắc về nội dung này, hãy để lại bình luận để được chúng tôi giải đáp nhé.
